O(n) 時間と O(1) 空間での重複の検索: 詳細な説明

提示された問題には重複の特定が含まれます0 から n-1 までの範囲の数値を含む配列内の要素。課題は、これを O(n) 時間の計算量内で、一定 (O(1)) のメモリ空間のみを使用して効率的に達成することにあります。

提示されたソリューションでは、ハッシュ テーブルやその他の追加データを必要としない独創的な手法が採用されています。構造物。代わりに、配列自体の値を利用して、重複する要素を識別してマークします。

1. 配列の並べ替え:

   内側のループは並べ替えます。次のロジックに基づく配列:

   while A[A[i]] != A[i]
       swap(A[i], A[A[i]])
   end while

   この置換ステップにより、配列内に要素 x が存在する場合、そのインスタンスの少なくとも 1 つが A[x] に配置されることが保証されます。これは後続のステップで重要です。

2. 重複の識別:

   外側のループは各要素 A[i]:

   [ を検査します。 &&&] for i := 0 ～ n - 1 A[i] != i の場合 A[i]を印刷します 終了する場合 end for

   for i := 0 to n - 1
       if A[i] != i then
           print A[i]
       end if
   end for

   A[i] != i の場合、i が配列内の適切な場所に存在しないことを意味します。したがって、これは重複要素であり、出力されます。

3. 時間複雑性分析:

   この手法は O(n) 時間で実行されます。 。ネストされたループには、n 回反復する外側のループと、最大で n - 1 回の反復を実行する内側のループがあります (交換するたびに 1 つの要素が正しい位置に近づくため)。したがって、反復の総数は n*(n - 1) によって制限され、これは O(n^2) ですが、n*(n - 1) = n^2 - n として O(n) に単純化できます。 = n(n - 1) = n*n - n

4. 空間複雑性分析:

   アルゴリズムは、入力のサイズに関係なく、定数スペースのみを使用します。重要な洞察は、置換に使用されるスペースが入力配列内にすでに存在しているということです。追加のストレージ構造は必要ありません。

5. 追加メモ:

   アルゴリズムは、配列に 0 から n までの整数が含まれていることを前提としています。 1.
   • 重複が存在する場合でも、時間計算量は変わりません。
   • このアルゴリズムは、小規模から中程度のサイズの配列に対して効率的です。大規模な配列の場合は、ハッシュ テーブルなどのデータ構造を使用する代替アプローチの方が適している場合があります。