650。 2键键盘

难度： 中等

主题： 数学、动态规划

记事本的屏幕上只有一个字符“A”。您可以在此记事本上为每个步骤执行以下两个操作之一：

• 全部复制：您可以复制屏幕上出现的所有字符（不允许部分复制）。
• 粘贴：可以粘贴上次复制的字符。

给定一个整数n，返回在屏幕上准确地出现n次字符“A”的最少操作次数。

示例1：

• 输入： n = 3
• 输出： 3
• 解释： 最初，我们有一个字符“A”。
  • 在步骤1中，我们使用全部复制操作。
  • 在步骤2中，我们使用粘贴操作得到'AA'。
  • 在第3步中，我们使用粘贴操作来获取'AAA'。

示例2：

• 输入： n = 1
• 输出： 0

示例3：

• 输入： n = 10
• 输出： 7

示例2：

• 输入： n = 24
• 输出： 9

约束：

• 1

暗示：

1. 如果n = 3，最后一步剪贴板中可能有多少个字符？ n = 7？ n = 10？ n = 24？

解决方案：

我们需要找到最少的操作次数才能在屏幕上精确地显示 n 个字符“A”。我们将使用动态编程方法来实现这一目标。

1. 理解问题：

   • 我们从屏幕上的一个“A”开始。
   • 我们可以“全部复制”（复制当前屏幕内容）或“粘贴”（粘贴最后复制的内容）。
   • 我们需要确定屏幕上恰好有 n 个字符“A”所需的最少操作。

2. 动态规划方法：

   • 使用动态编程 (DP) 数组 dp，其中 dp[i] 表示在屏幕上精确获取 i 个字符所需的最少操作数。
   • 初始化 dp[1] = 0，因为需要 0 次操作才能在屏幕上显示一个“A”。
   • 对于从 2 到 n 的每个字符 i，通过检查 i 的每个除数来计算最少运算。如果 i 能被 d 整除，则：
     • 达到 i 所需的运算次数是达到 d 的运算加上 d 相乘得到 i 所需的运算之和。

3. 解决步骤：

   • 使用 INF（或一个大数字）初始化 DP 数组，以获取除 dp[1] 之外的所有值。
   • 对于从 2 到 n 的每个 i，迭代 i 的可能除数，并根据通过复制和粘贴达到 i 所需的操作更新 dp[i]。

让我们用 PHP 实现这个解决方案：650。 2键键盘

解释：

• 初始化： dp 被初始化为一个很大的数字（PHP_INT_MAX），以表示最初不可达的状态。
• 除数检查： 对于每个数字 i，检查所有除数 d。通过考虑到达 d 所需的操作然后相乘得到 i 来更新 dp[i]。
• 输出： 结果是 dp[n] 的值，它给出了在屏幕上精确获取 n 个字符所需的最少操作。

这种方法确保我们针对给定的约束有效地计算最少的操作。

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