Python 中的指數和對數曲線擬合超越多項式擬合

除了Python 中具有polyfit() 函數的多項式擬合之外，還存在指數擬合技術和對數曲線。

對數曲線擬合

將曲線擬合到模型y = A B log x，我們可以將資料兩邊取對數進行變換，得到log y = log A B log x。透過使用 polyfit() 將 log y 與 log x 擬合，我們得到係數 log A 和 B。

import numpy as np

x = np.array([1, 7, 20, 50, 79])
y = np.array([10, 19, 30, 35, 51])
coeffs = np.polyfit(np.log(x), y, 1)

print("Coefficients:", coeffs)
print("y ≈", coeffs[1], " ", coeffs[0], "log(x)")

指數曲線擬合

將曲線擬合到模型y = Ae^(Bx)，我們可以兩邊取對數，得到log y = log A B x。然後可以透過使用 polyfit().

x = np.array([10, 19, 30, 35, 51])
y = np.array([1, 7, 20, 50, 79])
coeffs = np.polyfit(x, np.log(y), 1)

print("Coefficients:", coeffs)
print("y ≈", np.exp(coeffs[1]), "*", "exp(", coeffs[0], "x)")

關於未加權擬合中偏差的注意事項

值得注意的是，未加權擬合（不考慮資料點的權重）可能會導致對小值的偏差，特別是在指數曲線擬合中。為了緩解這種情況，可以在擬合過程中包含與 y 值成比例的權重。

使用 Scipy 進行曲線擬合

Scipy 提供 curve_fit() 函數來執行非線性曲線擬合。這允許我們直接擬合任何模型，無需轉換。

from scipy.optimize import curve_fit

# Logarithmic curve fitting
popt, pcov = curve_fit(lambda t, a, b: a   b * np.log(t), x, y)
print("Coefficients:", popt)
print("y ≈", popt[1], " ", popt[0], "log(x)")

# Exponential curve fitting
popt, pcov = curve_fit(lambda t, a, b: a * np.exp(b * t), x, y, p0=(1, 0.1))
print("Coefficients:", popt)
print("y ≈", popt[0], "*", "exp(", popt[1], "x)")