使用大指數計算(a^b)%MOD

在此編碼挑戰中，任務是計算pow( a, b) %MOD，其中指數b 可能非常大。雖然傳統的 log(b) 時間複雜度方法適用於較小的值，但當 b 超過 C 中 long long 資料類型的容量時，它就變得不切實際。

然而，更有效的方法涉及利用 Euler 的 totient 函數， φ(MOD)。歐拉定理指出 a^φ(MOD)≡1(mod MOD)。這意味著 a 的冪可以顯著降低為 a^(b % φ(MOD))。

計算 φ(MOD) 本身就是一項不平凡的任務，但可以用整數分解法來實現。計算完成後，指數 b 可以替換為 b % φ(MOD)，以顯著減少計算時間。

進一步改進

2008 年，Schramm 證明φ (b) 可以透過gcd(b, i) 的離散傅立葉變換獲得，其中i 的範圍為1 到b。這消除了顯式因式分解的需要。 此外，Carmichael 函數 λ(MOD) 可用於獲得正確答案，特別是當 a 和 MOD 共享公因數時。

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long ll;

ll gcd(ll a, ll b) { return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b); }

ll pmod(ll a, ll b, ll mod) {
    if (b == 0) return 1;
    if (b % 2 == 1) {
        return (a * pmod(a, b - 1, mod)) % mod;
    } else {
        ll tmp = pmod(a, b / 2, mod);
        return (tmp * tmp) % mod;
    }
}

int main() {
    ll a, b, mod;
    cin >> a >> b >> mod;
    cout 以下程式碼片段作為 C 語言的範例：
#include 
#include 

使用命名空間 std；

typedef 長長 ll；

ll gcd(ll a, ll b) { return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b); }

ll pmod(ll a, ll b, ll mod) {
    如果（b==0）返回1；
    如果（b％2==1）{
        返回 (a * pmod(a, b - 1, mod)) % mod;
    } 別的 {
        ll tmp = pmod(a, b / 2, mod);
        返回 (tmp * tmp) % mod;
    }
}

int main() {
    ll a、b、mod；
    cin >> a >> b >> mod;
    cout