В целом, временная сложность и пространственная сложность — это способы измерения эффективности алгоритма на основе того, как масштабируется использование его ресурсов с ростом размер его ввода. Давайте рассмотрим основы и некоторые распространенные примеры.

Временная сложность

Временная сложность описывает количество времени, необходимое для выполнения алгоритма, в зависимости от размера входных данных (часто обозначается как n).

1. Константное время – O(1):

   • Время выполнения алгоритма не зависит от размера входных данных.
   • Пример: доступ к элементу массива по индексу, как в arr[5].

2. Логарифмическое время – O(log n):

   • Время выполнения алгоритма растет логарифмически по мере увеличения размера входных данных, то есть на каждом шаге задача делится пополам.
   • Пример: двоичный поиск в отсортированном массиве.

3. Линейное время – O(n):

   • Время выполнения алгоритма растет линейно с увеличением размера входных данных.
   • Пример: однократный обход массива из n элементов.

4. Линейное время – O(n log n):

   • Распространено в эффективных алгоритмах сортировки, где каждый элемент обрабатывается логарифмически, обычно за счет рекурсивного деления и линейного слияния или обработки.
   • Пример: сортировка слиянием, быстрая сортировка.

5. Квадратичное время – O(n²):

   • Время выполнения увеличивается пропорционально квадрату размера входных данных.
   • Пример: вложенные циклы, например сравнение каждого элемента массива со всеми остальными элементами.

6. Кубическое время – O(n³):

   • Время выполнения увеличивается пропорционально кубу размера входных данных. Редко, но может произойти в алгоритмах с тремя вложенными циклами.
   • Пример: решение определенных матричных операций с использованием алгоритмов грубой силы.

7. Экспоненциальное время – O(2^n):

   • Время выполнения удваивается с каждым дополнительным элементом во входных данных, обычно это происходит из-за рекурсивных алгоритмов, которые решают подзадачи во всех возможных комбинациях.
   • Пример: простое решение для последовательности Фибоначчи, где каждый вызов приводит к еще двум вызовам.

8. Факториальное время – O(n!):

   • Время выполнения увеличивается пропорционально размеру входных данных. Часто из алгоритмов, предполагающих создание всех возможных перестановок или комбинаций.
   • Пример: решение задачи коммивояжера с помощью грубой силы.

Космическая сложность

Пространственная сложность измеряет объем памяти, используемый алгоритмом, относительно размера входных данных.

1. Постоянный пробел – O(1):

   • Алгоритм использует фиксированный объем памяти независимо от размера входных данных.
   • Пример: сохранение нескольких переменных, например целых чисел или счетчиков.

2. Логарифмическое пространство – O(log n):

   • Использование памяти растет логарифмически, что часто наблюдается при использовании рекурсивных алгоритмов, которые на каждом шаге уменьшают проблему вдвое.
   • Пример: рекурсивный двоичный поиск (сложность пространства из-за стека вызовов).

3. Линейное пространство – O(n):

   • Использование памяти растет линейно с размером входных данных, что обычно происходит при создании дополнительного массива или структуры данных для хранения входных данных.
   • Пример: создание копии массива размера n.

4. Квадратичное пространство – O(n²):

   • Использование памяти увеличивается пропорционально квадрату входного размера, например, при хранении двумерной матрицы размера n x n.
   • Пример: сохранение матрицы смежности для графа с n узлами.

5. Экспоненциальное пространство – O(2^n):

   • Использование памяти растет экспоненциально с размером входных данных, часто в рекурсивных решениях, которые хранят данные для каждого возможного подмножества входных данных.
   • Пример: мемоизация в рекурсивных алгоритмах со множеством перекрывающихся подзадач.

Практические примеры

• Линейное время (O(n)) и линейное пространство (O(n)):

  • Функция, которая перебирает массив и сохраняет каждый элемент в новом массиве.

• Квадратичное время (O(n²)) и постоянное пространство (O(1)):

  • Функция, которая имеет два вложенных цикла над массивом, но не требует дополнительного хранилища, кроме нескольких переменных.

Анализ сложности

При анализе кода на сложность во времени и пространстве:

1. Определите циклы: Вложенные циклы обычно увеличивают сложность (например, один цикл дает ( O(n) ); два вложенных цикла дают ( O(n^2) )).
2. Ищите рекурсию: рекурсивные вызовы могут привести к экспоненциальной сложности времени и пространства, в зависимости от фактора ветвления и глубины рекурсии.
3. Учитывайте структуры данных: использование дополнительных структур данных, таких как массивы, списки или хэш-карты, может повлиять на сложность пространства.

Общие советы

• Временная сложность связана с подсчетом операций в зависимости от размера входных данных.
• Пространственная сложность заключается в подсчете необходимого объема дополнительной памяти.

Оценивая эти факторы, вы можете оценить, насколько эффективно работает алгоритм и сколько памяти он потребляет в зависимости от размера входных данных.