Поиск дубликатов во времени O(n) и пространстве O(1): подробное объяснение

Поставленная задача включает в себя идентификацию дубликатов элементы массива, содержащие числа от 0 до n-1. Задача состоит в том, чтобы добиться этого эффективно, с временной сложностью O(n) и использованием только постоянного пространства памяти (O(1))

Представленное решение использует гениальную технику, которая не требует хеш-таблиц или других дополнительных данных. структуры. Вместо этого он использует значения в самом массиве для идентификации и маркировки повторяющихся элементов.

1. Перестановка массива:

   Внутренний цикл меняет местами массив на основе следующей логики:

   while A[A[i]] != A[i]
       swap(A[i], A[A[i]])
   end while

   Этот шаг перестановки гарантирует, что если элемент x существует в массиве, хотя бы один из его экземпляров будет расположен в A[x]. Это имеет решающее значение для последующих шагов.

2. Идентификация дубликатов:

   Внешний цикл проверяет каждый элемент A[i]:

   for i := 0 to n - 1
       if A[i] != i then
           print A[i]
       end if
   end for

   Если A[i] != i, это означает, что i не присутствует на своем законном месте в массиве. Следовательно, это повторяющийся элемент, и он печатается.

3. Анализ временной сложности:

   Техника выполняется за время O(n) . Вложенный цикл имеет внешний цикл, который выполняет итерацию n раз, и внутренний цикл, который выполняет не более n - 1 итераций (поскольку каждая замена приближает один элемент к его правильному положению). Таким образом, общее количество итераций ограничено n*(n - 1), что равно O(n^2), но его можно упростить до O(n) как n*(n - 1) = n^2 - n = n(n - 1) = n*n - n

4. Пространственная сложность Анализ:

   Алгоритм использует только постоянное пространство, независимо от размера входных данных. Ключевой вывод заключается в том, что пространство, используемое для перестановок, уже присутствует во входном массиве. Никаких дополнительных структур хранения не требуется.

5. Дополнительные примечания:

   • Алгоритм предполагает, что массив содержит целые числа от 0 до n - 1.
   • Временная сложность остается неизменной даже при наличии дубликатов.
   • Алгоритм эффективен для массивы малого и среднего размера. Для больших массивов могут быть более подходящими альтернативные подходы с использованием структур данных, таких как хеш-таблицы.