일반적으로 시간 복잡도와 공간 복잡도는 알고리즘의 리소스 사용량이 규모에 따라 어떻게 확장되는지에 따라 알고리즘의 효율성을 측정하는 방법입니다. 입력 크기. 기본 사항과 몇 가지 일반적인 예를 살펴보겠습니다.

시간 복잡도

시간 복잡도는 입력 크기(종종 n으로 표시됨)를 기준으로 알고리즘이 완료되는 데 걸리는 시간을 나타냅니다.

1. 상수 시간 – O(1):

   • 알고리즘의 실행 시간은 입력 크기에 따라 변하지 않습니다.
   • 예: arr[5]와 같이 인덱스로 배열의 요소에 액세스합니다.

2. 대수 시간 - O(log n):

   • 알고리즘의 실행 시간은 입력 크기가 증가함에 따라 대수적으로 증가합니다. 즉, 각 단계에서 문제를 절반으로 나눕니다.
   • 예: 정렬된 배열에 대한 이진 검색.

3. 선형 시간 – O(n):

   • 알고리즘의 실행 시간은 입력 크기에 따라 선형적으로 증가합니다.
   • 예: n개 요소의 배열을 한 번 탐색합니다.

4. 선형 시간 – O(n log n):

   • 일반적으로 재귀적 분할과 선형 병합 또는 처리로 인해 각 요소가 대수적으로 처리되는 효율적인 정렬 알고리즘에서 일반적입니다.
   • 예: 병합 정렬, 퀵 정렬.

5. 2차 시간 – O(n²):

   • 실행 시간은 입력 크기의 제곱에 비례하여 증가합니다.
   • 예: 배열의 각 요소를 다른 모든 요소와 비교하는 것과 같은 중첩 루프.

6. 입방 시간 – O(n³):

   • 입력 크기의 세제곱에 따라 실행 시간이 늘어납니다. 드물지만 세 개의 중첩 루프가 있는 알고리즘에서 발생할 수 있습니다.
   • 예: 무차별 알고리즘을 사용하여 특정 행렬 연산을 해결합니다.

7. 지수 시간 – O(2^n):

   • 입력의 각 요소가 추가될 때마다 실행 시간이 두 배로 늘어납니다. 일반적으로 가능한 모든 조합으로 하위 문제를 해결하는 재귀 알고리즘에서 발생합니다.
   • 예: 각 호출이 두 개의 추가 호출로 이어지는 피보나치 수열에 대한 단순한 솔루션입니다.

8. 요인 시간 – O(n!):

   • 실행 시간은 입력 크기에 따라 계승적으로 늘어납니다. 가능한 모든 순열이나 조합을 생성하는 알고리즘에서 발생하는 경우가 많습니다.
   • 예: 무차별 대입으로 여행하는 외판원 문제를 해결합니다.

공간 복잡도

공간 복잡도는 입력 크기에 비해 알고리즘이 사용하는 메모리 양을 측정합니다.

1. 상수 공간 – O(1):

   • 알고리즘은 입력 크기에 관계없이 고정된 양의 메모리를 사용합니다.
   • 예: 정수나 카운터와 같은 몇 가지 변수를 저장합니다.

2. 대수 공간 - O(log n):

   • 메모리 사용량은 대수적으로 증가하며, 각 단계에서 문제를 절반으로 줄이는 재귀 알고리즘에서 흔히 볼 수 있습니다.
   • 예: 재귀 이진 검색(호출 스택으로 인한 공간 복잡성).

3. 선형 공간 – O(n):

   • 메모리 사용량은 입력 크기에 따라 선형적으로 증가하며, 이는 입력을 저장하기 위해 추가 배열이나 데이터 구조를 생성할 때 흔히 발생합니다.
   • 예: n 크기의 배열 복사본 만들기

4. 2차 공간 – O(n²):

   • 메모리 사용량은 n x n 크기의 2D 행렬을 저장할 때와 같이 입력 크기의 제곱에 따라 증가합니다.
   • 예: n개의 노드가 있는 그래프에 대한 인접 행렬 저장.

5. 지수 공간 – O(2^n):

   • 메모리 사용량은 입력 크기에 따라 기하급수적으로 증가하며, 입력의 가능한 각 하위 집합에 대한 데이터를 저장하는 재귀 솔루션에서 흔히 발생합니다.
   • 예: 중복되는 하위 문제가 많은 재귀 알고리즘의 메모.

실제 사례

• 선형 시간(O(n)) 및 선형 공간(O(n)):

  • 배열을 반복하고 각 요소를 새 배열에 저장하는 함수입니다.

• 2차 시간(O(n²)) 및 상수 공간(O(1)):

  • 배열에 대해 두 개의 중첩 루프가 있지만 몇 가지 변수 외에는 추가 저장 공간이 필요하지 않은 함수입니다.

복잡성 분석

코드의 시간 및 공간 복잡성을 분석할 때:

1. 루프 식별: 중첩 루프는 일반적으로 복잡성을 증가시킵니다(예: 하나의 루프는 ( O(n) )를 제공하고 두 개의 중첩 루프는 ( O(n^2) )를 제공).
2. 재귀 찾기: 재귀 호출은 분기 요소와 재귀 깊이에 따라 기하급수적인 시간 및 공간 복잡성을 초래할 수 있습니다.
3. 데이터 구조 고려: 배열, 목록, 해시 맵과 같은 추가 데이터 구조를 사용하면 공간 복잡성에 영향을 미칠 수 있습니다.

일반 팁

• 시간 복잡도는 입력 크기의 함수로 작업을 계산하는 것입니다.
• 공간 복잡도는 필요한 추가 메모리 양을 계산하는 것입니다.

이러한 요소를 평가하면 입력 크기에 따라 알고리즘이 얼마나 효율적으로 수행되고 얼마나 많은 메모리를 소비하는지 추정할 수 있습니다.